Numeros Naturales
Los numeros naturales son los que utilizamos en la vida cotidiana para contar u ordenar.
El conjunto de los números naturales se representa por ℕ y está formado por:
ℕ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ...}
Nosotros consideramos que 0 es un número natural, aunque no todos los autores están de acuerdo.
Los números naturales son ilimitados, si a un número natural le sumamos 1, obtenemos otro número natural.
Con los números naturales podemos:
1 Contar los elementos de un conjunto (número cardinal).
Ejemplo: 8 es el número de planetas del Sistema Solar.
2 Expresar la posición u orden que ocupa un elemento en un conjunto (número ordinal).
Ejemplo: El pez verde es el segundo (2º) de los tres peces.
Los números naturales están ordenados, lo que nos permite comparar dos números naturales entre sí:
Ejemplo:
5 > 3 -> 5 es mayor que 3.
3 < 5 -> 3 es menor que 5.
Representación de los números naturales
Los números naturales se pueden representar en una recta ordenados de menor a mayor.
Sobre una recta señalamos un punto, que marcamos con el número cero (0).
A la derecha del cero, y con las mismas separaciones, situamos de menor a mayor los siguientes números naturales: 1, 2, 3...
Suma de números naturales
Propiedades de la suma de números naturales
1 Operación interna
El resultado de sumar dos números naturales es otro número natural.
2 Asociativa
El modo de agrupar los sumandos no varía el resultado.
(a + b) + c = a + (b + c)
Ejemplo:
(2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5)
5 + 5 = 2 + 8
10 = 10
3 Conmutativa
El orden de los sumandos no varía la suma.
a + b = b + a
Ejemplo:
2 + 5 = 5 + 2
7 = 7
4 Elemento neutro
El 0 es el elemento neutro de la suma, porque todo número sumado con él da él mismo número.
a + 0 = 0 + a
Ejemplo:
a + 0 = a
3 + 0 = 3
Resta de Numeros Naturales
La resta o sustracción de dos números naturales es la operación que quita la cantidad del número menor (sustraendo) al número mayor (minuendo).
Se representa con el signo −.
5 − 3 = 2
4 − 6, en este caso no podemos realizar la operación porque el minuendo ha de ser mayor o igual al sutraendo.
Términos que intervienen en una resta:
a − b = c
Los términos que intervienen en una resta se denominan:
a se denomina minuendo.
b se denomina sustraendo.
El resultado (c) se denomina diferencia.
a − b = c
Los términos que intervienen en una resta se denominan:
a se denomina minuendo. b se denomina sustraendo. El resultado (c) se denomina diferencia.Propiedades de la resta de números naturales
1 No interna
El resultado de restar dos números naturales no siempre es otro número natural.
2 No conmutativa
Multiplicación de números naturales
Multiplicar dos números naturales consiste en sumar uno de los factores consigo mismo tantas veces como indica el otro factor.
Por ejemplo, la multiplicación 2 · 5 consiste en sumar el número 2 cinco veces:
2 ·×· 5 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10
Términos que intervienen en una multiplicación:
a · b = c
a y b se denominan factores
a se denomina multiplicando, es el factor que debe sumarse tantas veces como indique b
b se denomina multiplicador, es el factor que indica las veces que el que se ha de sumar el multiplicando a
El resultado (c) se denomina producto
Signo de la multiplicación
Para indicar una nultiplicación podemos emplear el signo × o el signo ·
Cuando un número o están multiplicando a un paréntesis, se suele omitir el signo por.
2 × (5 + 3 −2)
2 · (5 + 3 −2)
2(5 + 3 −2)
Propiedades de la multiplicación de números naturales
1 Operación interna
El resultado de multiplicar dos números naturaleses otro número natural.
2 Asociativa
El modo de agrupar los factores no varía el resultado.
(a · b) · c = a · (b · c)
Ejemplo:
(2 · 3) · 5 = 2 · (3 · 5)
6 · 5 = 2 · 15
30 = 30
3 Conmutativa
El orden de los factores no varía el producto.
a · b = b · a
Ejemplo:
2 · 5 = 5 · 2
10 = 10
4 Elemento neutro
El 1 es el elemento neutro de la multiplicación de números naturales porque todo número multiplicado por él da el mismo número.
a · 1 = 1 · a = a
Ejemplo:
3 · 1 = 1 · 3 = 3
5 Distributiva
La multiplicación de un número natural por una suma es igual a la suma de las multiplicaciones de dicho número natural por cada uno de los sumandos.
a · (b + c) = a · b + a · c
Ejemplo:
2 · (3 + 5) = 2 · 3 + 2 · 5
2 · 8 = 6 + 10
16 = 16
6 Sacar factor común
Es el proceso inverso a la propiedad distributiva.
Si varios sumandos tienen un factor común, podemos transformar la suma en producto extrayendo dicho factor.
a · b + a · c = a · (b + c)
Ejemplo:
2 · 3 + 2 · 5 = 2 · (3 + 5)
6 + 10 = 2 · 8
16 = 16
División de números naturales
La división de dos numeros naturales es la operación que calcula cuántas veces un número (el divisor) está contenido en otro número (el dividendo).
Se representa mediante los signos: dos puntos :, barra diagonal / u óbelo ÷.
D : d = c
Términos que intervienen en una división:
D se denomina dividendo
d se denomina divisor
El resultado (c) se denomina cociente
Para poder realizar la división de dos números naturales el dividendo ha de ser mayor o igual al divisor. Además el divisor tiene que ser siempre distinto de cero.
Tipos de divisiones
- División exacta
Una división es exacta cuando el resto es cero.
2.División entera
Una división es entera cuando el resto es distinto de cero.
Números enteros
Con los números naturales no era posible realizar diferencias donde el minuendo era menor que el que el sustraendo, pero en la vida nos encontramos con operaciones de este tipo donde a un número menor hay que restarle uno mayor.
La necesidad de representar el dinero adeudado, la temperatura bajo cero, profundidades con respecto al nivel del mar, etc.
Las anteriores situaciones nos obligan a ampliar el concepto de números naturales, introduciendo un nuevo conjunto numérico llamado números enteros. El conjunto de los números enteros está formado por los números naturales, sus opuestos (negativos) y el cero.
Los números enteros se dividen en tres partes:
1 )Enteros positivos o números naturales
2 )Enteros negativos
3 )Cero
1 )Enteros positivos o números naturales
2 )Enteros negativos
3 )Cero
Valor absoluto de un número entero
El valor absoluto lo escribiremos entre barras verticales.
Ejemplo:
|−5| = 5
|5| = 5
Representación de los números enteros
2 )A su derecha y a distancias iguales se van señalando los números positivos: 1, 2, 3, ...
Ejemplo:
5 > 3 , 5 es mayor que 3.
−10 < −7 , −10 es menor que −7.
−10 < −7 , −10 es menor que −7.
Criterios para ordenar los números enteros
−7 < 0
7 > 0
−7 > −10
|−7| < |−10|
10 > 7
|10| > |7|
Se suman los valores absolutos
Se pone el mismo signo que tenían los números
Por ejemplo: 4 + 3 = 7
– 3 – 8 = – 11
Se restan los valores absolutos
Se pone el signo del que tiene mayor valor absoluto.
Por ejemplo: – 2 + 8 = + 6
+ 4 – 9 = – 5
Para sumar un número entero, se quita el paréntesis y se deja el signo propio del número:
Por ejemplo: + (+5)= + 5
+ (– 3) = –3
Para restar un número entero, se quita el paréntesis y se le pone al número el signo contrario al
que tenía:
Por ejemplo: – (+5)= - 5
– (– 3) = + 3
REGLA DE LOS SIGNOS:
Al multiplicar dos números enteros:
Si los dos factores tienen el mismo signo, el resultado final es positivo.
(+) ∙ (+) = (+)
(―) ∙ (―) = (+)
Si los dos factores tienen distinto signo, el resultado final es negativo.
(+) ∙ (―) = (―)
(―) ∙ (+) = (―)
IMPORTANTE
En las expresiones con números enteros hemos de atender :
+15 – 3 ∙ [ 6 + 3] =
+15 – 3 ∙ [+ 9] =
+15 – 27 = – 12
Sumas y restas de números enteros
- Cuando los dos números llevan el mismo signo:
Se suman los valores absolutos
Se pone el mismo signo que tenían los números
Por ejemplo: 4 + 3 = 7
– 3 – 8 = – 11
- Cuando los dos números llevan distinto signo:
Se restan los valores absolutos
Se pone el signo del que tiene mayor valor absoluto.
Por ejemplo: – 2 + 8 = + 6
+ 4 – 9 = – 5
Sumas y restas con paréntesis
Para sumar un número entero, se quita el paréntesis y se deja el signo propio del número:
Por ejemplo: + (+5)= + 5
+ (– 3) = –3
Para restar un número entero, se quita el paréntesis y se le pone al número el signo contrario al
que tenía:
Por ejemplo: – (+5)= - 5
– (– 3) = + 3
REGLA DE LOS SIGNOS:
Al multiplicar dos números enteros:
Si los dos factores tienen el mismo signo, el resultado final es positivo.
(+) ∙ (+) = (+)
(―) ∙ (―) = (+)
Si los dos factores tienen distinto signo, el resultado final es negativo.
(+) ∙ (―) = (―)
(―) ∙ (+) = (―)
IMPORTANTE
En las expresiones con números enteros hemos de atender :
- Primero, a los paréntesis.
- Después, a la multiplicación y a la división
- Por último, a la suma y a la resta.
- Por ejemplo:
- +15 – 3 ∙ [ 6 – ( – 12) : ( + 4)]=
+15 – 3 ∙ [ 6 + 3] =
+15 – 3 ∙ [+ 9] =
+15 – 27 = – 12
Potencia de números enteros
La potencia de exponente natural de un número entero es
igual a la multiplicar dicho número por sí mismo tantas veces como
indique el exponente y su signo depende del signo de la base:
Si la base es positiva el resulado es positivo.
5² = 25
3³ = 27
Si la base es negativa el resultado es:
+ Si el exponente es par.
(−5)² = 25
− Si el exponente es impar.
(−3)³ = −27
De manera general podemos decir que la potencia de exponente
natural de un número entero es otro número entero, cuyo valor absoluto
es el valor absoluto de la potencia y cuyo signo es el que se deduce de
la aplicación de las siguientes reglas:
1 Las potencias de exponente par son siempre positivas.
(+)par = +
(−)par = +
2 Las potencias de exponente impar tienen el mismo signo de la base.
(+)impar = +
(−)impar = −
Si la base es positiva el resulado es positivo.
5² = 25
3³ = 27
Si la base es negativa el resultado es:
+ Si el exponente es par.
(−5)² = 25
− Si el exponente es impar.
(−3)³ = −27
De manera general podemos decir que la potencia de exponente
natural de un número entero es otro número entero, cuyo valor absoluto
es el valor absoluto de la potencia y cuyo signo es el que se deduce de
la aplicación de las siguientes reglas:1 Las potencias de exponente par son siempre positivas.
(+)par = +
(−)par = +
2 Las potencias de exponente impar tienen el mismo signo de la base.
(+)impar = +
(−)impar = −
Propiedades de las potencias de números enteros
1) La potencia de 0 es igual a 1
a0 = 1
2) La potencia de 1 es igual a ese mismo número
a1 = a
3) Producto de potencias con la misma base
Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes.
am · an = am + n
Ejemplo:
(−2)5 · (−2)² = (−2)5 + 2 = (−2)7 = −128
4) División de potencias con la misma base
Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la diferencia de los exponentes.
am : an = am − n
Ejemplo:
(−2)5 : (−2)² = (−2)5 − 2 = (−2)³ = −8
5)Potencia de una potencia
Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es el producto de los exponentes.
(am)n = am · n
Ejemplo:
[(−2)³]² = (−2)6 = 64
6) Producto de potencias con el mismo exponente
Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el producto de las bases.
an · bn = (a · b)n
Ejemplo:
(−2)³ · (3)³ = (−6)³ = −216
7 )Cociente de potencias con el mismo exponente
Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el cociente de las bases.
an : bn = (a : b)n
Ejemplo:
(−6)³ : 3³ = (−2)³ = −8
1) La potencia de 0 es igual a 1
a0 = 1
2) La potencia de 1 es igual a ese mismo número
a1 = a
3) Producto de potencias con la misma base
Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes.
am · an = am + n
Ejemplo:
(−2)5 · (−2)² = (−2)5 + 2 = (−2)7 = −128
4) División de potencias con la misma base
Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la diferencia de los exponentes.
am : an = am − n
Ejemplo:
(−2)5 : (−2)² = (−2)5 − 2 = (−2)³ = −8
5)Potencia de una potencia
Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es el producto de los exponentes.
(am)n = am · n
Ejemplo:
[(−2)³]² = (−2)6 = 64
6) Producto de potencias con el mismo exponente
Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el producto de las bases.
an · bn = (a · b)n
Ejemplo:
(−2)³ · (3)³ = (−6)³ = −216
7 )Cociente de potencias con el mismo exponente
Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el cociente de las bases.
an : bn = (a : b)n
Ejemplo:
(−6)³ : 3³ = (−2)³ = −8
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